Question

已知某幾何體的直觀圖（圖1）與它的三視圖（圖2），其中俯視圖為正三角形，其它兩個視圖是矩形．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）D是棱A₁C₁上的一點，若使直線BC₁∥平面AB₁D，試確定點D的位置，并證明你的結論；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，求證：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

解：由三視圖可知該幾何體為正三棱柱，底面是高為的正三角形，三棱柱的高h=3，（2分）
（Ⅰ）底面是高為的正三角形，易知底面邊長為2，
所以底面面積，
所求體積．（4分）
（Ⅱ）連接A₁B，且A₁B∩AB₁=O，
∵正三棱柱側(cè)面是矩形，
∴點O是棱A₁B的中點，（5分）
若BC₁∥平面AB₁D，

連接DO，BC₁?平面A₁BC₁，，平面AB₁D∩平面A₁BC₁=DO，
∴BC₁∥DO，
∴DO是△A₁BC₁的中位線，
∴D為A₁C₁的中點．
即D為A₁C₁的中點時，BC₁∥平面AB₁D．（8分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁為正三角形，
∴B₁D⊥A₁C₁．，
又由三棱柱性質(zhì)知平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D⊥平面AA₁D，（10分）又B₁D?平面AB₁D，
∴平面AB₁D⊥平面AA₁D..（12分）
分析：（Ⅰ）把原圖還原得該幾何體為正三棱柱，底面是高為的正三角形，三棱柱的高h=3，代入正三棱柱的體積計算公式即可．
（Ⅱ）因為棱A₁C₁上最特殊的點就是中點，再借助于線線平行來推線面平行的推法，找和直線BC₁平行的中位線即可．
（Ⅲ）在平面AA₁D中找兩條相交直線和平面AB₁D中的直線B₁D垂直即可．
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直．