Question

已知三棱錐A-BCD，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD=1，AB⊥AD，DB=DC，DB⊥DC 
（1）求證：AB⊥平面ADC；
（2）求三棱錐A-BCD的體積；
（3）求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）由平面ABD⊥平面BCD且DB⊥DC，利用面面垂直的性質定理證出CD⊥平面ABD，從而得到CD⊥AB，結合AB⊥AD利用線面垂直判定定理，即可證出AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中點O，連結AO，等腰Rt△ABD中證出A0⊥BD，進而根據(jù)平面ABD⊥平面BCD證出A0⊥平面BCD，可得AO是三棱錐A-BCD的高，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)利用錐體體積公式加以計算，可得三棱錐A-BCD的體積；
（3）過O作OE⊥BC于點E，連結AE，根據(jù)三垂線定理證出AE⊥BC，從而可得∠AEO為二面角A-BC-D的平面角．Rt△AEO中算出OE=

1

2

，根據(jù)AO=

2

2

利用正切的定義算出tan∠AEO=

2

，即得二面角A-BC-D的正切值．

解答：解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，DB⊥DC．
∴CD⊥平面ABD，
∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB，
又∵AB⊥AD，且AD∩AB=B，∴AB⊥平面ADC．
（2）取BD的中點O，連結AO，
∵AB=AD=1，AB⊥AD，∴△ABD為等腰直角三角形，
∴A0⊥BD，且AO=

2

2

，BD=

2

．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，A0⊥BD，
∴A0⊥平面BCD，即AO是三棱錐A-BCD的高，
∵DB=DC，DB⊥DC．∴CD=BD=

2

，
即△BCD的面積S=

1

2

×

2

×

2

=1，
∴三棱錐A-BCD的體積V=

1

3

×S×AO=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

．
（3）過O作OE⊥BC于點E，連結AE，
∵AO⊥平面BCD，可得OE是AE在平面BCD內的射影，
∴AE⊥BC，可得∠AEO為二面角A-BC-D的平面角．
Rt△BOE中，BO=

2

2

，∠OBE=45°，可得OE=BOsin45°=

1

2

，
∴Rt△AEO中，tan∠AEO=

AO

OE

=

2

，即得二面角A-BC-D的正切值等于

2

．

點評：本題在給定三棱錐中求證線面垂直，并求二面角的正切值與錐體的體積．著重考查了面面垂直的性質、線面垂直的判定與性質、錐體的體積公式和二面角的平面角的定義及求法等知識，屬于中檔題．