Question

20．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，又定義在（-1，1）上的奇函數(shù)g（x），當x＞0時有g（x）=f^-1（x），求g（x）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的關系進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，
∴f^-1（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
即當x＞0時，g（x）=f^-1（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
若-1＜x＜0時，則-x＞0，則g（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），
∵定義在（-1，1）上的奇函數(shù)g（x），
∴g（-x）=-g（x），
則g（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）=-g（x），
即g（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），-1＜x＜0，
當x=0時，g（0）=0，
即g（0）=0，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，}&{0＜x＜1}\\{0，}&{x=0}\\{-lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x），}&{-1＜x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和反函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關鍵．