Question

（本小題滿分12分）如圖，以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線E的焦點(diǎn)為F（0，1），點(diǎn)M是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引拋物線E的兩條切線分別交x軸于點(diǎn)S，T，切點(diǎn)分別為B，A。

（Ⅰ）求拋物線E的方程；

（Ⅱ）求證：點(diǎn)S，T在以FM為直徑的圓上；

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：第一問(wèn)可以根據(jù)題意直接設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程的形式，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出對(duì)應(yīng)的的值，

從而得出拋物線的方程，第二問(wèn)應(yīng)用點(diǎn)在圓上的對(duì)應(yīng)結(jié)論，即直徑對(duì)的圓周角為直角，得出兩線垂直的對(duì)應(yīng)結(jié)果，從而得證，還有就是S，T兩點(diǎn)證明的思路是一樣的，所以，證明一個(gè)，另一個(gè)點(diǎn)可以用同理可得來(lái)帶過(guò).

試題解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線E的方程為，

依題意，

所以拋物線E的方程為 4分

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)

，否則切線不過(guò)點(diǎn)M

7分

10分

∴AM⊥FT，即點(diǎn)T在以FM為直徑的圓上；

同理可證點(diǎn)S在以FM為直徑的圓上，

所以S，T在以FM為直徑的圓上。 12分

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的綜合問(wèn)題，四點(diǎn)共圓的證明方法.