Question

如圖4,已知四棱錐，底面是正方形，面，點是的中點，點是的中點,連接,.

(1) 求證：面；

（2）若,，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證法1：取的中點，連接，

      ∵點是的中點,

      ∴.    

      ∵點是的中點，底面是正方形，

      ∴.  

      ∴.

      ∴四邊形是平行四邊形.

      ∴.                 …

      ∵平面，平面，

      ∴面.              …………… 4分

證法2：連接并延長交的延長線于點，連接，

      ∵點是的中點，

      ∴, 

      ∴點是的中點.         

∵點是的中點,

      ∴.                                           

      ∵面，平面，

      ∴面.                                      

證法3： 取的中點，連接，

      ∵點是的中點，點是的中點,

      ∴，.                                

      ∵面，平面，

      ∴面.                                        

      ∵面，平面，

      ∴面.                                         

      ∵，平面，平面，

      ∴平面面.    

      ∵平面，

      ∴面.         

…（2）解法1：∵，面，

      ∴面.             

      ∵面，

      ∴.                                           …

      過作，垂足為，連接，

      ∵，面，面，

      ∴面.                                      

      ∵面，

      ∴.                                       

      ∴是二面角的平面角.                   

      在Rt△中，,，得，

                                                              

      在Rt△中，，得，

      .                                  

       在Rt△中，，        

      .                               

      ∴二面角的余弦值為.               

解法2：∵，面，

      ∴面.

在Rt△中，,，得，

…………… 5分

以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，                             

則.

∴，，.

設(shè)平面的法向量為，

由，，

得

令，得，.

∴是平面的一個法向量.             

又是平面的一個法向量，              

.                      

∴二面角的余弦值為.                    …