Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是漸近線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|=

a2+b2

，若

OF

•

OA

=

2

3

b²，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：設(shè)出雙曲線的右焦點(diǎn)，求出漸近線方程，設(shè)出A的坐標(biāo)，再由條件求得m=a，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可得a，c的關(guān)系，由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F（c，0），
漸近線方程為y=±

b

a

x，可設(shè)A（m，

bm

a

）（m＞0），
由|OA|=

a2+b2

，
即有m²+

b2m2

a2

=a²+b²，即為m=a，
即有A（a，b），
由

OF

•

OA

=

2

3

b²，
則ac=

2

3

b²=

2

3

（c²-a²），
解得，c=2a，即有e=

c

a

=2．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．