Question

（2013•安徽）已知函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）討論f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）先利用和角公式再通過二倍角公式，將次升角，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期，求實(shí)數(shù)ω的值；
（2）由于x是[0，

π

2

]范圍內(nèi)的角，得到2x+

π

4

的范圍，然后通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性．

解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

4

）=2

2

sinωx•cosωx+2

2

cos²ωx
=

2

（sin2ωx+cos2ωx）+

2

=2sin（2ωx+

π

4

）+

2

，
所以 T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

4

）+

2

，
因?yàn)?≤x≤

π

2

，所以

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
當(dāng)

π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

時，即0≤x≤

π

8

時，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)

π

2

≤2x+

π

4

≤

5π

4

時，即

π

8

≤x≤

π

2

時，f（x）是減函數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上單調(diào)增，在區(qū)間[

π

8

，

π

2

]上單調(diào)減．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，恒等關(guān)系的應(yīng)用，注意三角函數(shù)值的變換，考查計算能力，�？碱}型．