Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈N^*，任取m，n∈N^*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p²-tp≤f（x）對任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，則t的最小值為________．

Answer 1

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分析：可以根據(jù)f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，根據(jù)遞推公式可以求出f（x）的解析式，若p²-tp≤f（x）對任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，令g（p）=p²-tp，將問題轉化為g（p）的最大值小于等于f（x）的最小值，利用二次函數(shù)的性質和圖象，求出g（p）和f（x）的最值，從而進行求解；
解答：由f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2
則f（n）=f（n-1+1）
=f（n-1）+f（1）+4n-2
=f（n-1）+4n-1
=f（n-2）+4（n-1）-1+4n-1
=f（1）+4×1+4×2+…+4（n-1）+4n-（n-1）
=1+-n+12n²-3n+2
=2n²-3n+2
則f（x）=2x²-3x+2，（x∈N₊）
令g（p）=p²-tp則只需g（p）_max≤f（x）_min，
即可滿足p²-tp≤f（x）對任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，
則f（x）的對稱軸為x=，x∈[3，+∞）
則f（x）在[3，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）_min=f（3）=11，
而g（p）的對稱軸p=，p∈[2，3]，
若≤，即t≤5，g（p）在p=3處取得最大值，g（p）_max=g（3）=9-3t，
可得9-3t≤11解得t，綜上-≤t≤5；
若，即t＞5，g（p）在p=2處取得最大值，g（p）_max=g（2）=4-2t，
可得4-2t≤11，解得t≥-，綜上t＞5，
綜上可得t≥-；t的最小值為-，
故答案為-；
點評：此題主要考查函數(shù)的恒成立問題以及抽象函數(shù)的應用，解題的過程中用到了分類討論的思想和轉化的思想，這也是高考的熱點問題，此題是一道中檔題；