Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax³-3x²，其中a為大于零的常數(shù)，
(1)當(dāng)a=時(shí)，令h(x)=f′(x)+6x，求證：當(dāng)x∈(0，+∞) 時(shí)，h(x)＞2elnx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))；
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x)，x∈[0，2]在x=0處取得最大值，求a的取值范圍。

Answer 1

解：(1)因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110923/201109231058527181078.gif">，所以，
則，
令，
則，
所以當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′(x)＞0，
所以當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值，F(xiàn)()為F(x)在(0，+∞)上的最小值，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110923/201109231058529061198.gif">，
所以，即。
(2)，
，
令g′(x)=0，則有，
設(shè)方程(*)的兩根為x₁，x₂，則，
設(shè)x₁＜0＜x₂，
當(dāng)0＜x₂＜2時(shí)，g(x₂)為極小值，所以g(x)在[0，2]上的最大值只能為g(0)或g(2)；
當(dāng)x₂≥2時(shí)，g(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，最大值為g(0)，
所以g(x)在[0，2]上的最大值只能為g(0)或g(2)；
又已知g(x)在x=0處取得最大值，
所以g(0)≥g(2)，即0≥20a-24，解得，
所以。