Question

12．已知銳角△ABC中，A=60°，O是△ABC外接圓的圓心，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$，（x，y∈R），則2x-y的取值范圍是（-2，1）．

Answer 1

分析 由題意得∠BOC=120°，-1≤x＜0，-1≤y＜0；從而可得（$\overrightarrow{OA}$）²=（$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$）²，從而可得1=x²+y²-xy，再令y-$\frac{1}{2}$x=-cosα，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=-sinα，從而可得-1≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα＜0，-1≤-2sin（α+$\frac{π}{6}$）＜0；再設(shè)sinα=m，cosα=n，根據(jù)線性規(guī)劃可以求得2x-y的范圍．

解答 解：∵A=60°，∴∠BOC=120°，

∵△ABC為銳角三角形，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$，
∴-1≤x＜0，-1≤y＜0；
∵（$\overrightarrow{OA}$）²=（$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$）²，
∴$\overrightarrow{OA}$²=x²•$\overrightarrow{OB}$²+y²$\overrightarrow{OC}$²+2$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}$²=x²•$\overrightarrow{OB}$²+y²$\overrightarrow{OC}$²+2|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OC}$|cos120°，
∴1=x²+y²-xy，
∴（y-$\frac{1}{2}$x）²+$\frac{3}{4}$x²=1，
令y-$\frac{1}{2}$x=-cosα，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=-sinα，
∴x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα-cosα，
設(shè)sinα=m，cosα=n，
∴-1≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m＜0，-1≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-n＜0；
則2x-y=-$\sqrt{3}$sinα+cosα=-$\sqrt{3}$m+n，如圖所示，
∴當(dāng)m=0，n=1時，z=1，為最大值；當(dāng)m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=-$\frac{1}{2}$時，z=-2，取最小值．
故答案為：（-2，1）．

點評 本題考查了平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．