【題目】已知曲線上的點(diǎn)到二定點(diǎn)、 的距離之和為定值,以為圓心半徑為4的圓有兩交點(diǎn),其中一交點(diǎn)為, 在y軸正半軸上,圓與x軸從左至右交于二點(diǎn),

(1)求曲線、的方程;

(2)曲線,直線交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與曲線交于二點(diǎn),過的切線, 交于.當(dāng)x軸上方時(shí),是否存在點(diǎn),滿足,并說明理由.

【答案】(1) ,;(2) 必存在兩個(gè)滿足題設(shè)條件的點(diǎn).

【解析】試題分析:(1) 設(shè),布列方程組,即可得到曲線、的方程;

(2) 由題設(shè)知, ,,

交于, ,同理,在直線上,進(jìn)而就可得到滿足題意的點(diǎn).

試題解析:

(1)由題設(shè)知,曲線是定點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓

設(shè)

,即, ,

,

, ,

,

(2)存在點(diǎn),滿足.下面證明之.

由題設(shè)知, ,又知

設(shè)點(diǎn)

,

,

交于,

同理 在直線

上 ∴

即點(diǎn)為直線上的點(diǎn)

為橢圓上的點(diǎn),即為橢圓和直線的公共點(diǎn).

坐標(biāo)代入方程左端得

上的點(diǎn)在橢圓內(nèi)部 ∴與橢圓必有二公共點(diǎn)

必存在兩個(gè)滿足題設(shè)條件的點(diǎn)

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