Question

已知四邊形ABCD滿足ADBC，，E是BC的中點(diǎn)，將△BAE沿著AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F(xiàn)為B₁D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱B₁﹣AECD的體積；
（Ⅱ）證明：B₁E 面ACF；
（Ⅲ）求面ADB₁與面ECB₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）解：取AE的中點(diǎn)M，連接B₁M，因?yàn)?IMG style="WIDTH: 115px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120914/201209142129339032661.png">，E是BC的中點(diǎn)，
所以△ABE為等邊三角形，所以，
又因?yàn)槊鍮₁AE⊥面AECD，
所以B₁M⊥面AECD，
所以
（Ⅱ）證明：連接ED交AC于O，連接OF，
因?yàn)锳ECD為菱形，OE=OD，
又F為B₁D的中點(diǎn)，所以FOB₁E，
因?yàn)镕O面ACF
所以B₁E面ACF
（Ⅲ）解：連接MD，分別以ME，MD，MB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則
設(shè)面ECB₁的法向量，則，令x'=1，則
設(shè)面ADB₁的法向量為，則，令x=1，則
則，
所以二面角的余弦值為