Question

（2013•寧波二模）三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形．已知點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)，如果以A為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形有且僅有三個(gè)，則橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  2

  2

  )
• B．(

  2

  2

  ，

  6

  3

  )
• C．(

  2

  2

  ，1)
• D．(

  6

  3

  ，1)

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，直線AB方程為y=kx+b（k＞0），兩方程聯(lián)解得到B的橫坐標(biāo)為-

2ka2b

a2k2+b2

，從而得|AB|=

1+k2

•

2ka2b

a2k2+b2

，同理得到|AC|=

1+ 1 k2

•

2ka2b

b2k2+a2

．根據(jù)|AB|=|AC|建立關(guān)于k、a、b的方程，化簡(jiǎn)整理得到（k-1）[b²k²+（b²-a²）k+b²]=0，結(jié)合題意得該方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式建立關(guān)于a、b的不等式，解之即得c²＞2b²，由此結(jié)合a²=b²+c²即可解出該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
根據(jù)BA、AC互相垂直，設(shè)直線AB方程為y=kx+b（k＞0），AC方程為y=-

1

k

x+b
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+b

，消去y并化簡(jiǎn)得（a²k²+b²）x²+2ka²bx=0
解之得x₁=0，x₂=-

2ka2b

a2k2+b2

，可得B的橫坐標(biāo)為-

2ka2b

a2k2+b2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

2ka2b

a2k2+b2

．
同理可得，|AC|=

1+ 1 k2

•

2ka2b

b2k2+a2

∵△ABC是以A為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，
∴|AB|=|AC|即

1+k2

•

2ka2b

a2k2+b2

=

1+ 1 k2

•

2ka2b

b2k2+a2

，
化簡(jiǎn)整理，得b²k³-a²k²+a²k-b²=0，分解因式得：（k-1）[b²k²+（b²-a²）k+b²]=0…（*）
方程（*）的一個(gè)解是k₁=1，另兩個(gè)解是方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0的根
∵k₁=1不是方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0的根，
∴當(dāng)方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0有兩個(gè)不相等的正數(shù)根時(shí)，方程（*）有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
相應(yīng)地，以A為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形也有三個(gè)．
因此，△=（b²-a²）²-2b⁴＞0且

k2+k3= a2-b2 b2 ＞0 k1k2= b2 b2 ＞0

，化簡(jiǎn)得c²＞2b²
即3c²＞2a²，兩邊都除以3a²得

c2

a2

＞

2

3

，
∴離心率e滿足e²＞

2

3

，解之得e＞

6

3

，結(jié)合橢圓的離心率e＜1，得

6

3

＜e＜1
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出以橢圓上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接等腰直角三角形存在3個(gè)，求橢圓的離心率取值范圍，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．