Question

19．在△ABC中，AC=5，$\frac{1}{tan\frac{A}{2}}$+$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$-$\frac{5}{tan\frac{B}{2}}$=0，則BC+AB=（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 作△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)O為圓心，r為半徑，圓O與三邊AB、BC、AC的切點(diǎn)依次為D、E、F，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF．則tan$\frac{B}{2}$=$\frac{r}{BD}$，tan$\frac{A}{2}$=$\frac{r}{AF}$，tan$\frac{C}{2}$=$\frac{r}{CF}$，再由已知條件求出AC=5BD，進(jìn)一步求出BD的值，則BC+AB的答案可求．

解答 解：作△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)O為圓心，r為半徑，圓O與三邊AB、BC、AC的切點(diǎn)依次為D、E、F，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
則tan$\frac{B}{2}$=$\frac{r}{BD}$，tan$\frac{A}{2}$=$\frac{r}{AF}$，tan$\frac{C}{2}$=$\frac{r}{CF}$．
∵$\frac{1}{tan\frac{A}{2}}$+$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$-$\frac{5}{tan\frac{B}{2}}$=0，
∴$\frac{AF}{r}+\frac{CF}{r}=\frac{5BD}{r}$，
∴AF+CF=5BD，即AC=5BD，
又∵AC=5，
∴BD=1，
∴BE=BD=1，
∴BC+AB=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=AC+2BD=7．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，作出△ABC的內(nèi)切圓是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．