(2009•金山區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x.(1)解不等式:f(x)<0;(2)請先閱讀下列材料,然后回答問題.
材料:已知函數(shù)g(x)=-
1
f(x)
,問函數(shù)g(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,說明理由.一個同學給出了如下解答:
解:令u=-f(x)=-x2-x,則u=-(x+
1
2
2+
1
4
,
當x=-
1
2
時,u有最大值,umax=
1
4
,顯然u沒有最小值,
∴當x=-
1
2
時,g(x)有最小值4,沒有最大值.
請回答:上述解答是否正確?若不正確,請給出正確的解答;
(3)設(shè)an=
f(n)
2n-1
,請?zhí)岢龃藛栴}的一個結(jié)論,例如:求通項an.并給出正確解答.
注意:第(3)題中所提問題單獨給分,.解答也單獨給分.本題按照所提問題的難度分層給分,解答也相應給分,如果同時提出兩個問題,則就高不就低,解答也相同處理.
分析:(1)因為f(x)=x2+x,所以x2+x<0.由此能求出原不等式的解.
(2)不正確.正確解答如下:令u=-f(x)=-x2-x,則u=-(x+
1
2
2+
1
4
1
4
,當0<u≤
1
4
時,g(x)≥4.當u<0時,g(x)<0.由此知g(x)既無最大值,也無最小值.
(3)命題1:求數(shù)列{an}的通項公式.答案1:an=
n2+n
2n-1
.命題2:判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.答案2:
an+1
an
=
(n+1)(n+2)
2n
×
2n-1
n(n+1)
=
n+2
2n
,由此得數(shù)列{an}是先增后減的數(shù)列.命題3:求數(shù)列{an}的最大值.答案3:(前面解題過程同答案2),且an的極限是0,故有an的最大值為a2=a3=3.命題4:an對一切正整數(shù)n,均有an≤C恒成立,求C的最小值.答案4:因為an=
n2+n
2n-1
,若an對一切正整數(shù)n,均有Tn≤C恒成立,則需C大于或等于an的最大值,
由此導出C的最小值為3.
解答:解:(1)因為f(x)=x2+x,所以x2+x<0;即-1<x<0…(1分)
(2)不正確,…(2分)
正確解答如下:
令u=-f(x)=-x2-x,則u=-(x+
1
2
2+
1
4
1
4
,…(3分)
當0<u≤
1
4
時,
1
μ
≥4,即g(x)≥4…(4分)
當u<0時,
1
μ
<0,即g(x)<0…(5分)
所以g(x)<0或g(x)≥4,即g(x)既無最大值,也無最小值.…(6分)
(3)下面分層給分:
命題1:求數(shù)列{an}的通項公式.答案1:an=
n2+n
2n-1
…(各(1分),共計2分)
命題2:判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.答案2:
an+1
an
=
(n+1)(n+2)
2n
×
2n-1
n(n+1)
=
n+2
2n
,
an+1
an
≥1得:n≤2,即有:a1=2≤a2=3=a3=3≥a4=
5
2
≥a5=
15
8
≥…≥an≥…,
即數(shù)列{an}是先增后減的數(shù)列.…(各(3分),共計6分)

命題3:求數(shù)列{an}的最大值.答案3:(前面解題過程同答案2),且an的極限是0,故有an的最大值為a2=a3=3,…(各(5分),共計10分)
命題4:an對一切正整數(shù)n,均有an≤C恒成立,求C的最小值.
答案4:因為an=
n2+n
2n-1
,若an對一切正整數(shù)n,均有Tn≤C恒成立,
則需C大于或等于an的最大值,
(此部分解題過程同答案3),
又對一切正整數(shù)n,均有an≤C恒成立,
所以C≥3,C的最小值為3….…各(7分),共計(14分)
點評:本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用,解題時要認真審題,仔細解答,注意運算能力的培養(yǎng).
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+
1
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-
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+…+
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-
1
2n
=
1
n+1
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