Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，，點E是棱PB的中點．
（I）求證：平面ECD⊥平面PAD；
（II）求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

（I）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥CD
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面ECD，
∴平面ECD⊥平面PAD；
（II）解：過點D作DF⊥CE，過點F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的二面角的平面角．
∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，從而DE=
在Rt△CBE中，CE==，
∵CD=，∴△CDE為等邊三角形，故F為CE的中點，且DF=CD•sin60°=
因為AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，
從而FG=，且G點為AC的中點，連接DG，則在Rt△ADC中，DG==，
所以cos∠DFG==．
分析：（I）證明CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可證平面ECD⊥平面PAD；
（II）過點D作DF⊥CE，過點F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的二面角的平面角，先利用AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，從而求得DE，在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，進而可知CE=CD推斷出△CDE為等邊三角形，求得DF，因為AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，從而求得FG，且G點為AC的中點，連接DG，則在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．
點評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定定理，正確作出面面角，求出三角形的三邊，利用余弦定理求面面角．