Question

（2012•上海）已知f(x)=

1

1+x

，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，則a₂₀+a₁₁的值是

13 5 +3

26

．

Answer 1

分析：根據(jù)f(x)=

1

1+x

，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=f（a_n），可確定a₁=1，a3=

1

2

，a5=

2

3

，a₇=

3

5

，a9=

5

8

，a11=

8

13

，利用a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，可得a₂₀₁₀=

5 -1

2

（負(fù)值舍去），依次往前推得到a₂₀=

5 -1

2

，由此可得結(jié)論．

解答：解：∵f(x)=

1

1+x

，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+2=f（a_n），
∴a₁=1，a3=

1

2

，a5=

2

3

，a₇=

3

5

，a9=

5

8

，a11=

8

13

∵a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，
∴

1

1+a2010

=a2012
∴a₂₀₁₀=

5 -1

2

（負(fù)值舍去），由a₂₀₁₀=

1

1+a2008

得a₂₀₀₈=

5 -1

2

…
依次往前推得到a₂₀=

5 -1

2

∴a₂₀+a₁₁=

13 5 +3

26

故答案為：

13 5 +3

26

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的概念、組成和性質(zhì)、同時(shí)考查函數(shù)的概念．理解條件a_n+2=f（a_n），是解決問題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中高檔試題．