Question

電子蛙跳游戲是：青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁頂點(diǎn)A起跳，每步從一頂點(diǎn)跳到相鄰的頂點(diǎn)．
（1）求跳三步跳到C₁的概率P；
（2）青蛙跳五步，用x表示跳到過(guò)C₁的次數(shù)，求隨機(jī)變量x的概率分布及數(shù)學(xué)期望E（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）將A標(biāo)示為0，A₁、B、D標(biāo)示為1，B₁、C、D₁標(biāo)示為2，C₁標(biāo)示為3，從A跳到B記為01，從B跳到B₁再跳到A₁記為121，其余類推．由已知條件從0到1與從3到2的概率為1，從1到0與從2到3的概率為

1

3

，從1到2與從2到1的概率為

2

3

．由此能求出跳三步跳到C₁的概率．
（2）由題設(shè)知X=0，1，2．分別求出P（X=1），P（X=2），P（X=0），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（1）將A標(biāo)示為0，A₁、B、D標(biāo)示為1，B₁、C、D₁標(biāo)示為2，
C₁標(biāo)示為3，從A跳到B記為01，從B跳到B₁再跳到A₁記為121，其余類推．
從0到1與從3到2的概率為1，從1到0與從2到3的概率為

1

3

，
從1到2與從2到1的概率為

2

3

．
跳三步跳到C₁的概率：
P=P（0123）=1×

2

3

×

1

3

=

2

9

； …4′
（2）由題設(shè)知X=0，1，2．
P（X=1）=P（010123）+P（012123）+P（012321）
=1×

1

3

×1×

2

3

×

1

3

+1×

2

3

×

2

3

×

2

3

×

1

3

+1×

2

3

×

1

3

×1×

2

3

=

26

81

，
P（X=2）=P（012323）=1×

2

3

×

1

3

×1×

1

3

=

6

81

，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=

49

81

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
p	49 81	26 81	6 81

∴E（X）=1×

26

81

+2×

6

81

=

38

81

．…10′

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，是中檔題．