Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

A．-3≤a≤6

B．-3＜a＜6

C．a(chǎn)＜-3或a＞6

D．a(chǎn)≤-3或a≥6

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1是R上的單調(diào)函數(shù)，所以其導(dǎo)函數(shù)在R內(nèi)恒大于等于0或恒小于等于0，然后利用二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的二次方程的判別式小于等于0求解a的值．

解答：解：由f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1，得：f^′（x）=3x²+2ax+a+6．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1是R上的單調(diào)函數(shù)，
所以其導(dǎo)函數(shù)f^′（x）=3x²+2ax+a+6在R上恒大于等于0或恒小于等于0，
而導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，且圖象開(kāi)口向上，所以其對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式恒小于等于0，
即△=（2a）²-4×3×（a+6）≤0，
即a²-3a-18≤0．
解得：-3＜a＜6．
所以a的取值范圍是-3＜a＜6．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)，說(shuō)明函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)同符號(hào)．屬基礎(chǔ)題．