Question

已知sin(π-α)-cos(π+α)=

2

3

(

π

2

＜α＜π)．
求：（1）sinα-cosα；
（2）sin³（2π-α）+cos³（2π-α）．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡，兩邊平方并利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求出2sinαcosα的值，根據(jù)α的范圍判斷出sinα與cosα的正負，得到sinα-cosα的正負，利用完全平方公式及二次根式的性質(zhì)即可求出sinα-cosα的值；
（2）原式利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用立方差公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα=

2

3

，
∴兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

2

9

，即2sinαcosα=-

7

9

，
∵

π

2

＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
則sinα-cosα=

(sinα+cosα)2-4sinαcosα

=

4

3

；
（2）sin³（2π-α）+cos³（2π-α）=-sin³α+cos³α=（cosα-sinα）（1+sinαcosα）=-

4

3

×（1-

7

18

）=-

22

27

．

點評：此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，完全平方公式，立方和公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．