Question

【題目】已知函數(shù),.

（1）若曲線在點處的切線斜率為，求實數(shù)的值；

（2）若在有兩個零點，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義和已知條件求出的值；（2）將原方程有兩根轉(zhuǎn)為兩圖象與函數(shù)有兩個交點；（3）將要證明的不等式等價于證明，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來進行證明.

試題解析：（1）解：因為，所以.

因為曲線在點處的切線斜率為，所以，

解得

（2）解：原題等價于方程在有兩個不同根.

轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點.

又，即時，，時，，

所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.從而

又有且只有一個零點是，且在時，，在在時，，

可見，要想函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點，

所以

（3）證明：因為,，

當(dāng)時，要證，只需證明

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

，，在上有唯一零點上

，

因為，所以即.

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，取得最小值.

所以.

綜上可知，當(dāng)時，