Question

已知橢圓C₁：，雙曲線C₂與C₁具有相同的焦點(diǎn)，且離心率互為倒數(shù)．
①求雙曲線C₂的方程；
②圓C：x²+y²=r²（r＞0）與兩曲線C₁、C₂交點(diǎn)一共有且僅有四個(gè)，求r的取值范圍；是否存在r，使得順次連接這四個(gè)交點(diǎn)所得到的四邊形是正方形？

Answer 1

解：①依題意，設(shè)雙曲線C₂的方程為（a＞0，b＞0）
橢圓C₁的離心率為，焦點(diǎn)為F（±2，0），
所以，
解得a=1，c=2，．
②橢圓C₁的頂點(diǎn)為A（±4，0）、，雙曲線C₂的頂點(diǎn)為M（±1，0），橢圓C₁與雙曲線C₂的交點(diǎn)為N（±2，±3），．
所以圓C與兩曲線C₁、C₂有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)且僅當(dāng)或或r＞4．
直線y=±x與橢圓C₁的交點(diǎn)為，，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/528878.png' />，且，
所以，以O(shè)為圓心、|OP|為半徑的圓與兩曲線C₁、C₂的交點(diǎn)不只四個(gè)，不合要求．
直線y=±x與雙曲線C₂的交點(diǎn)為，，，符合要求，
即時(shí)，交點(diǎn)有且僅有四個(gè)，順次連接這四個(gè)交點(diǎn)所得到的四邊形是正方形．
分析：①依題意，設(shè)雙曲線C₂的方程為（a＞0，b＞0），由雙曲線C₂與C₁具有相同的焦點(diǎn)，且離心率互為倒數(shù)，知，由此可求出雙曲線C₂的方程．
②橢圓C₁的頂點(diǎn)為A（±4，0）、，雙曲線C₂的頂點(diǎn)為M（±1，0），橢圓C₁與雙曲線C₂的交點(diǎn)為N（±2，±3），．所以圓C與兩曲線C₁、C₂有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，再運(yùn)用曲線的對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化從而簡(jiǎn)化計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：本題是橢圓、雙曲線與圓的綜合，解題要求先用待定系數(shù)法求軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合討論曲線的幾何性質(zhì)，第②問關(guān)鍵是運(yùn)用曲線的對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化從而簡(jiǎn)化計(jì)算．另外，圓錐曲線的一些數(shù)量關(guān)系常用向量表示：設(shè)橢圓C₁的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡也是曲線C₂．