對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=
a2-ab，a≤b
b2-ab，a＞b
，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且函數(shù)F（x）=f（x）-m（m∈R）恰有三個零點，x1，x2，x3，則x1+x2+x3的取值范圍是
(
5-
3
4
，1)
(
5-
3
4
，1)
．
分析：由已知正確得出函數(shù)解析式畫出圖象并求出m的取值范圍，解出方程的三個零點，進而根據(jù)m的取值范圍求出即可．
解答：解：由f（x）=（2x-1）*（x-1）=
2(x-
1
4
)2-
1
8
，當x≤0時
-(x-
1
2
)2+
1
4
，當x＞0時
，
畫出函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象：
∵函數(shù)F（x）=f（x）-m（m∈R）恰有三個零點，
∴0＜m＜
1
4
．
不妨設(shè)x1＜x2＜x3，
則x1是方程2x2-x=m的小于0的實數(shù)根，
∴x1=
1-
1+8m
4
；
x2，x3是方程-x2+x=m的兩個實數(shù)根，
∴x2+x3=1．
∴x1+x2+x3=
5-
1+8m
4
．
∵0＜m＜
1
4
，∴1＜
1+8m
＜
3
，
∴
5-
3
4
＜
5-
1+8m
4
＜1．
∴x1+x2+x3的取值范圍是(
5-
3
4
，1)．
故答案為(
5-
3
4
，1)．
點評：熟練畫出函數(shù)的圖象和掌握函數(shù)零點的求法是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于實數(shù)a，b，定義運算“﹡”：a﹡b=
a2-ab，a≤b
b2-ab，a＞b
，設(shè)f（x）=（2x-1）﹡x，且關(guān)于x 的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1+x2+x3的取值范圍是
（
5
2
，2+
2
2
）
（
5
2
，2+
2
2
）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•福建）對于實數(shù)a和b，定義運算“﹡”：a*b=
a2-ab，a≤b
b2-ab，a＞b
設(shè)f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是
(
1-
3
16
，0)
(
1-
3
16
，0)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•成都一模）對于實數(shù)a，b，定義運算?：a?b=
a，a-b≤0
b，a-b＞0
設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-x+1）?（2x-1），其中x∈R
（I）求f（
3
）的值；
（II）若1≤x≤2，試討論函數(shù)h（x）=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x+t（t∈R）的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=
-a2+2ab-1，a≤b
b2-ab，a＞b.
設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1•x2•x3的取值范圍是（　�。�
A、(-
1
32
，0)
B、(-
1
16
，0)
C、(0，
1
32
)
D、(0，
1
16
)

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