Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求證：數列{S_n+1}為等比數列；
（Ⅱ）求通項公式a_n；
（Ⅲ）設b_n=，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n+1+1=3（S_n+1）
∵S₁+1=2+1=3
∴{S_n+1}是首項為3公比為3的等比數列．
（Ⅱ）∵{S_n+1}是首項為3公比為3的等比數列．
∴S_n+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴S_n=3ⁿ-1，
S_n-1=3^n-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=．
（Ⅲ）證明：∵S_n=3ⁿ-1，，
∴b_n===
=，
設，
b₁+b₂+…+b_n＜c₁+c₂+c₃+…+c_n
=
＜（1+++…+）
=
=＜1．
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．
分析：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2，知S_n+1+1=3（S_n+1），由此能夠證明{S_n+1}是等比數列．
（Ⅱ）由S_n=3ⁿ-1，得到S_n-1=3^n-1-1，由此能求出a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=．
（Ⅲ）b_n==，由此入手，能夠證明b₁+b₂+…+b_n＜1．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，綜合題強，難度大，計算繁瑣，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意放縮法的合理運用．