Question

如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，.

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)；(2) 存在點(diǎn),.

試題分析：(1)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量線面角公式得
(2)可以先假設(shè)存在點(diǎn)D，然后利用向量的二面角公式計(jì)算.
試題解析：如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

可得.
(1)所以，平面的一個(gè)法向量
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.   6分
(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)AD=，
則，設(shè)平面的法向量，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034054090770.png" style="vertical-align:middle;" />,，
且
所以   所以平面的一個(gè)法向量
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034054199474.png" style="vertical-align:middle;" />的一個(gè)法向量
所以
解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034054261534.png" style="vertical-align:middle;" />，此時(shí),
所以存在點(diǎn)，使得二面角B₁—DC—C₁的大小為60°.          12分