Question

已知f₀(x)＝xⁿ，f_k(x)＝，其中k≤n(n，k∈N₊)．設(shè)F(x)＝f₀(x²)＋f₁(x²)＋…＋f_k(x²)＋…＋f_n(x²)，x∈[－1，1]．

(1)寫出f_k(1)；

(2)證明：對任意的x₁，x₂∈[－1，1]，恒有|F(x₁)－F(x₂)|≤2^n－1(n＋2)－n－1．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由已知推得fk(x)＝(n－k＋1)xn－k，從而有 　　fk(1)＝n－k＋1． 　　(2)證法一：當(dāng)－1≤x≤1時， 　　F(x)＝x2n＋＋＋…＋(n－k＋1)＋…＋2， 　　當(dāng)x＞0時，(x)＞0，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)． 　　又F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)． 　　所以對任意的x1，x2∈[－1，1]，恒有 　　|F(x1)－F(x2)|≤F(1)－F(0)． 　　F(1)－F(0)＝＋n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2 　　＝n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2＋． 　　∵(n－k＋1)＝(n－k)＋＝(n－k)·＋ 　�。絥·＋ 　�。絥＋(k＝1，2，…，n－1)， 　　∴F(1)－F(0)＝n(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＋ 　�。絥(2n－1－1)＋2n－1 　�。�2n－1(n＋2)－n－1． 　　因此結(jié)論成立． 　　證法二：當(dāng)－1≤x≤1時， 　　F(x)＝x2n＋nx2(n－1)＋(n－1)x2(n－2)＋…＋(n－k＋1)x2(n－k)＋…＋2x2＋1， 　　當(dāng)x＞0時，(x)＞0，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)． 　　又F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)． 　　所以對任意的x1，x2∈[－1，1]，恒有 　　|F(x1)－F(x2)|≤F(1)－F(0)． 　　F(1)－F(0)＝＋n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2， 　　又∵F(1)－F(0)＝2＋3＋…＋n＋， 　　∴2(F(1)－F(0))＝(n＋2)(＋＋…＋)＋2， 　　∴F(1)－F(0)＝(n＋2)(＋＋…＋)＋1＝(n＋2)·＋1＝2n－1(n＋2)－n－1． 　　因此結(jié)論成立． 　　分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本計算，函數(shù)的性質(zhì)，絕對值不等式及組合數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查歸納推理能力以及綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分12分．