Question

12．已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足，當x＜0時，f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$+9，若f（x）≥m+1對一切x≥0成立，則實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥2或m≤-$\frac{10}{7}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性求出當x＞0時的解析式，利用基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：若x＞0，則-x＜0，
∵當x＜0時，f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$+9，
∴當-x＜0時，f（-x）=-9x-$\frac{{m}^{2}}{x}$+9，
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-9x-$\frac{{m}^{2}}{x}$+9=-f（x），
即f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$-9，x＞0，
當x=0時，f（0）=0，滿足f（x）≥0，
則當x＞0時，f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$-9≥2$\sqrt{9x•\frac{{m}^{2}}{x}}$-9=6|m|-9，x＞0，
若f（x）≥m+1對一切x≥0成立，
則6|m|-9≥m+1，
解得m≥2或m≤-$\frac{10}{7}$，
故答案為：{m|m≥2或m≤-$\frac{10}{7}$}

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解決本題的關(guān)鍵．