Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°，則異面直線BC與PA所成角的余弦值是（　�。�

• A、0
• B、

  6

  4

• C、

  1

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)給出相關(guān)點的坐標(biāo)，再求出向量

BC

，

PA

的坐標(biāo)表示，利用向量坐標(biāo)運算求異面直線所成角的余弦值．

解答：解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PO⊥平面ABCD，∴OB為PB在平面ABCD內(nèi)的射影，∴∠PBO為PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO=60°，
又底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，∴BD=2，OB=1，OP=

3

，OA=

3

，
∴B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），
∴

BC

=（-

3

，-1，0），

PA

=（

3

，0，-

3

），
∴cos＜

BC

，

PA

＞=

BC • PA

| BC || PA |

=

-3

2× 3+3

=-

6

4

．
∴異面直線BC與PA所成角的余弦值是

6

4

．
故選B．

點評：本題考查了異面直線所成角的求法，本題采用了空間向量坐標(biāo)運算求異面直線所成角的余弦值，另外本題也可通過作角、證角、求角解答．