Question

（2012•溫州一模）已知函數(shù)f（x）=2x²-alnx
（1）若a=4，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=-cos2x，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值相等，若存在，請(qǐng)求出a的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

分析：（1）由a=4，得函數(shù)f（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出f（x）的極小值；
（2）若定義域內(nèi)存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，設(shè)f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），則對(duì)于某一實(shí)數(shù)m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)，由此能求出在定義域內(nèi)不存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=4x-

4

x

=

4(x2-1)

x

，xk．Com]
則當(dāng)0＜x＜1時(shí)f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)的極小值為f（1）=2；
（2）若存在，設(shè)f（x_i）-g（x_i）=m（i=1，2，3），則對(duì)于某一實(shí)數(shù)m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）-m=2x²-alnx+cos2x-m，
則F′(x)=4x-

a

x

-2sin2x(x＞0)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程4x²-2xsin2x=a（x＞0）有兩個(gè)不同的解G（x）=4x²-2xsin2x（x＞0），
則G'（x）=8x-2sin2x-4xcos2x=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
設(shè)h（x）=2x-sin2x，則h′（x）=2-2cos2x≥0，故h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x＞0時(shí)h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，則G′（x）＞0故G（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則a=4x²-2xsin2x（x＞0）至多只有一個(gè)解，故不存．
方法二：關(guān)于方程4x-

a

x

-2sin2x=0(x＞0)的解，
當(dāng)a≤0時(shí)，由方法一知2x＞sin2x，此時(shí)方程無解；
當(dāng)a＞0時(shí)，由于H′(x)=4+

a

x2

-4cos2x＞0，
可以證明H(x)=4x-

a

x

-2sin2x(x＞0)是增函數(shù)，此方程最多有一個(gè)解，故不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．