Question

若整數(shù)m滿足不等式x-

1

2

≤m＜x+

1

2

，x∈R，則稱m為x的“親密整數(shù)”，記作{x}，即{x}=m，已知函數(shù)f（x）x-{x}．給出以下四個命題：
①函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)且其最小正周期為1；
②函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象關(guān)于點(diǎn)（k，0），k∈Z中心對稱；
③函數(shù)y=f（x），x∈R在[-

1

2

，

1

2

]上單調(diào)遞增；
④方程f(x)=

1

2

sin(π•x)在[-2，2]上共有7個不相等的實數(shù)根．
其中正確命題的序號是

①④

．（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：先通過歸納得出：{x}=m表示對x進(jìn)行四舍五入后的整數(shù)，再在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)f（x）=x-{x}和y=

1

2

sin(π•x)，x結(jié)合圖象討論四個命題的正確與否，由此可得本題的正確答案．

解答：解：當(dāng)-

1

2

＜x≤

1

2

時，滿足不等式x-

1

2

≤m＜x+

1

2

，x∈R的“親密整數(shù)”m=0，
當(dāng)

1

2

＜x≤

3

2

時，滿足不等式x-

1

2

≤m＜x+

1

2

，x∈R的“親密整數(shù)”m=1，…，
歸納得出：{x}=m表示對x進(jìn)行四舍五入后的整數(shù)，
從而作出函數(shù)f（x）=x-{x}的圖象，是一些左開右閉的線段組成．如圖，

由圖象可得：
①函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)且其最小正周期為1；正確；
②函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象不關(guān)于點(diǎn)（k，0），k∈Z中心對稱；不正確；
③函數(shù)y=f（x），x∈R在[-

1

2

，

1

2

]上不是單調(diào)遞增，因f（-

1

2

）=1，f（

1

2

）=1；故③錯誤；
④方程f(x)=

1

2

sin(π•x)在[-2，2]上共有7個不相等的實數(shù)根，正確．
其中正確命題的序號是 ①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題以三角函數(shù)和新定義的函數(shù)為例，考查了函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的個數(shù)的討論等知識點(diǎn)，屬于中檔題．采用數(shù)形結(jié)合法，是解決本題的關(guān)鍵．