Question

【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得，已知平面 為的中點, 面．

(1)求的長；

(2)求證：面面；

(3)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接,則為梯形的中位線， ，先證明四邊形為平行四邊形， ，可得；（2）由平面面，結合可得面，因為 ，所以面，從而得面面；(3) 以為原點， 所在直線分別為 軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：（1）取的中點，連接,則為梯形的中位線，

又,所以

所以四點共面,因為面，且面面所以

所以四邊形為平行四邊形， 所以

（2）由題意可知平面面；又且平面

所以面，因為 所以面

又面， 所以面面；.

（3）以為原點， 所在直線分別為軸建立空間直角坐標系設為的中點，則,易證： 平面

平面的法向量為

設平面的法向量為，

由得 所以

所以，由所求二面角為銳二面角角，所以平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值．

【方法點晴】本題主要考面面垂直的證明、線面平行的定斷與性質以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.