Question

如圖1所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．
（1）若a＞d，將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋�，枕木的安全負荷會變大嗎？為什么�?br />（2）現(xiàn)有一根橫截面為半圓，半徑為

3

的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木（如圖2所示），其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？

Answer 1

考點：不等式的綜合,弧度與角度的互化

專題：不等式

分析：（1）根據(jù)題意，可設(shè)原來的安全負荷為y1=k•

ad2

l2

，k為正常數(shù)，由翻轉(zhuǎn)90°后，安全負荷為y2=k•

da2

l2

，然后通過作商比較大小，討論a、d的大小關(guān)系，可得正確結(jié)論；
（2）半圓的半徑為R，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，則根據(jù)垂徑定理，得a²+4d²=4R²．根據(jù)木材長度l為枕木規(guī)定的長度是一個不變的定值，得到當(dāng)u=ad²最大時，安全負荷最大，建立關(guān)系式u=d2

a2

．利用基本不等式可得d=

2

，a=2時，安全負荷最大．

解答： 解：（1）由題意設(shè)安全負荷為y1=k•

ad2

l2

，k為正常數(shù)，
由翻轉(zhuǎn)90°后，安全負荷為y2=k•

da2

l2

，
∵

y1

y2

=

d

a

，0＜d＜a，
∴y₁＜y₂，
∴枕木的安全負荷會變大．
（2）如圖，設(shè)截取有枕木寬度為a，高為d，
根據(jù)垂徑定理，得(

a

2

)2+d2=R2，即a²+4d²=4R²，
∵∵枕木長度不變，
∴u=ad²最大時，安全負荷最大
∴u=d2

a2

=d 2

12-4d2

=2

d4(3-d2)

=4

d2 2 • d2 2 •(3-d2)

≤4

( d2 2 + d2 2 +(3-d2))3 3

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)

d2

2

=3-d2，即d=

2

，a=2時，u最大，即安全負荷最大．

點評：本題借助于一個實際問題，通過求枕木安全負荷的最值，著重考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型的方法，屬于中檔題