Question

已知A（2，0），B，C為圓x²+y²=4上兩點(diǎn)，∠BAC=60°．
（1）求B，C中點(diǎn)軌跡方程．
（2）求△ABC重心軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將圓周角為定值轉(zhuǎn)化為圓心角為定值，結(jié)合圓心距構(gòu)成的直角三角形得OD=1，從而得BC中點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)BC中點(diǎn)是D，
∵圓心角等于圓周角的一半，
∴∠BOD=60°，
∵BO=CO，
∴OD⊥BC，
在直角三角形BOD中，有OD=

1

2

OB=1，
故中點(diǎn)D的軌跡方程是：x²+y²=1，
如圖，由角BAC的極限位置可得，x＜

1

2

，
（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（2cost，2sint），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2cos（t+120°，2sin（t+120°）），三角形ABC重心坐標(biāo)設(shè)為
（x，y），
則x=

1

3

（2+2cost+2cos（t+120°）），y=

1

3

（0+2sint+2sin（t+120°）），
3x-2=2cos（t-60°），3y=2cos（t-30°），
因此（3x-2）²+9y²=4，
這就是重心軌跡方程．

點(diǎn)評：本題主要考查求軌跡方程，解決與平面幾何有關(guān)的軌跡問題時，要充分考慮到圖形的幾何性質(zhì)，這樣會使問題的解決簡便些．