Question

已知函數(shù)f（x）=

1

(1-x)n

，g（x）=aln（x-1），其中n∈N^*，a為常數(shù)．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的極值；
（2）若對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)s≥2，x≥2時(shí)，f（s）+g（x）≤x-1．求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出F（x）的解析式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其定義域，把n=2代入F（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）已知對(duì)于任意的正整數(shù)n，當(dāng)s≥2，x≥2時(shí)，f（s）+g（x）≤x-1，將其轉(zhuǎn)化為1≤x-1-aln（x-1），即只需x-2-aln（x-1）≥0對(duì)x≥2成立，再對(duì)a進(jìn)行討論，求出a的范圍；

解答：解：（1）由已知得函數(shù)F（x）的定義域?yàn)閧x|x＞1}，
當(dāng)n=2時(shí)，F(xiàn)（x）=

1

(1-x)2

+aln（x-1），所以F′（x）=

2-a(1-x)2

(1-x)2

，
①當(dāng)a＞0時(shí)，由F′（x）=0得x₁=1+

2 a

＞1，x₂=1-

2 a

＜1，
此時(shí)F′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(1-x)2

，
當(dāng)x∈（1，x₁）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
從而F（x）在x₁=1+

2 a

處取得極小值，極小值為：F（1+

2 a

）=

a

2

（1+ln

2

a

），
②當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0恒成立，所以F（x）無極值．
綜上所述，n=2時(shí)；
當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）在x=1+

2 a

處取得極小值，極小值為F（1+

2 a

）=

a

2

（1+ln

2

a

）
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，F(xiàn)（x）無極值；
（2）當(dāng)x≥2時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有f（s）=

1

(1-s)n

≤1，故對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)s≥2，x≥2時(shí)，
有f（s）+g（x）≤x-1，只需1≤x-1-aln（x-1），即只需x-2-aln（x-1）≥0對(duì)x≥2成立，
令h（x）=x-2-aln（x-1），因?yàn)閔′（x）=1-

a

x-1

=

x-1-a

x-1

（x≥2），又h（2）=0，
所以當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，h（x）≥h（2），即h（x）當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)最小值為h（2）=0，
①當(dāng)a≤1，h′（x）=

x-1-a

x-1

≥0，h（x）當(dāng)x∈[2，+∞）單調(diào)遞增，結(jié)論成立；
②當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x∈[2，1+a），h′（x）＜0，x∈[1+a，+∞），h′（x）≥0，又h（2）=0，
故結(jié)論不成立，
綜合得a≤1；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題過程中也用到了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，這類綜合題，也是高考的熱點(diǎn)問題；