Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：
①上恒成立
②

Answer 1

（1）上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)  （2）.
（3）見(jiàn)解析

（1）利用導(dǎo)函數(shù)知識(shí)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用分離常數(shù)法把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題；（3）利用放縮法求證不等式成立
（1）函數(shù)       …………………1分
當(dāng)時(shí)，，則上是增函數(shù)       ………2分
當(dāng)時(shí)，由得                
由得                 ………4分
則上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)        ……5分
(采用列表的方式也要給滿分)
（2）解法一：由（I）知時(shí)，遞增，而不  
成立，故         ………7分
又由（I）知，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221015441538.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，
所以,解得              …………9分
所以,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法二（分離變量法）：
  ……9分
所以,實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
（3）①證明:由（2）知，當(dāng)時(shí)有在恒成立，
由(1)知當(dāng)時(shí)上是減函數(shù)，且，
所以,時(shí), 恒成立,
即上恒成立 .          ……………………11分
②證明：令，則，即，從而，
所以
即