Question

已知函數f（x） 是（-∞，+∞） 上的奇函數，且f（x） 的圖象關于x=1 對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，則f（2009）+f（2010）的值為（　　）

A、-2

B、-1

C、0

D、1

Answer 1

分析：由已知中函數f（x） 是（-∞，+∞） 上的奇函數，且f（x） 的圖象關于x=1 對稱，我們可以證得函數f（x） 是周期為4的周期函數，再由x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，我們易求出f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=1，進而求出f（2009）+f（2010）的值．

解答：解：∵函數f（x） 是（-∞，+∞） 上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
又∵f（x） 的圖象關于x=1 對稱，
∴f（2-x）=f（x）
∴f（x-2）=-f（x）
∴f（x-4）=f（x），
即函數f（x） 是周期為4的周期函數
又∵x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，
∴f（0）=0，f（1）=1，進而f（2）=0，f（3）=1
∴f（2009）+f（2010）=f（1）+f（2）=1
故選D

點評：本題考查的知識點是函數的值，奇函數，函數的周期性，其中根據已知條件求出函數是為4的周期函數，是解答本題的關鍵．