Question

設(shè)函數(shù)，函數(shù)（其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，求證：（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】（1）由函數(shù)，函數(shù)先求出，研究其單調(diào)性得函數(shù)的極值；（2）在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，先討論與 與把分式化為整式，構(gòu)造函數(shù)兩次求導(dǎo)數(shù)討論求得a的取值范圍是。（3）利用（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，令，求和得，化為指數(shù)式右半部分得證；在根據(jù)（1）得，即 。兩邊取自然對(duì)數(shù)整理得，求和，化為指數(shù)式左半部分得證。

解：（Ⅰ），函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴函數(shù)在處取得極大值．     4分

（Ⅱ）由題在上恒成立，∵，，∴，

若，則，若，則恒成立，則．

不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立，········· 6分

令，則，

又令，則，∵，．

①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，∴，

∴在上單減，∴，即在上恒成立；······· 7分

②當(dāng)時(shí)，．

�。┤�，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，此時(shí)在上恒成立；························ 8分

ⅱ）若，即時(shí)，若時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，∴，∴在上也單調(diào)遞增，

∴，即，不滿足條件．········································· 9分

綜上，不等式在上恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．······· 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，則，

當(dāng)時(shí)，，令，則，

∴，∴，∴，········ 12分

又由（Ⅰ）得，即，當(dāng)x＞0時(shí)，，∴，

，

綜上得，即．   14分