Question

直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，2），且被圓x²+y²=4截得的弦長(zhǎng)為2，則此直線(xiàn)的斜率是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)O作OC垂直于弦AB，根據(jù)垂徑定理得到C為弦AB的中點(diǎn)，由|AB|長(zhǎng)的一半求出|AC|的長(zhǎng)，設(shè)出直線(xiàn)AB的斜率為k，由A的坐標(biāo)和k表示出直線(xiàn)AB的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出O到直線(xiàn)AB的距離，即為|OC|的長(zhǎng)，在直角三角形OAB中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)O作OC⊥AB，則C為弦AB的中點(diǎn)，
∴|AC|=|AB|=1，
設(shè)所求直線(xiàn)AB的斜率為k，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，2），即|OA|=2，
∴直線(xiàn)AB的方程為：y-2=kx，即kx-y+2=0，
則圓心O（0，0）到直線(xiàn)的距離|OC|=，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：2²=1²+，
整理得：k²=，解得k=，
則直線(xiàn)AB的斜率為．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，用到的知識(shí)有垂徑定理，勾股定理，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，當(dāng)直線(xiàn)與圓位置關(guān)系是相交時(shí)，常常過(guò)圓心作出弦心距，利用弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題．