已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.
分析:原函數(shù)化為::f(x)=
4x-1
4x+1

(1)求f(x)的定義域可令分母4x+1≠0求解,對函數(shù)的解析式進行變化,判斷出值域即可值域;
(2)討論f(x)的奇偶性并證明,本函數(shù)是一個奇函數(shù),由定義法證明即可;
(3)判斷f(x)在(-∞,+∞)的單調(diào)性并證明,由解析式可以看出本函數(shù)在(-∞,+∞)是一個減函數(shù),可由復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷證明即可.
解答:解:原函數(shù)化為:f(x)=
4x-1
4x+1

(1)令分母4x+1≠0,該不等式恒成立,故定義域為R
函數(shù)的解析式可以變?yōu)?span id="ptwkppm" class="MathJye">f(x)=1-
2
4x+1
,由于4x+1>1,故0<
1
4x+1
<1
故0<
2
4x+1
<2,
∴f(x)的值域是(-1,1)
(2)函數(shù)是一個奇函數(shù),證明如下
f(-x)=
4-x-1
4-x+1
=
1-4x
1+4x
= -
4x-1
4x+1
=-f(x)
,故是一個奇函數(shù).
(3)f(x)在(-∞,+∞)是一個增函數(shù),證明如下
由于f(x)=1-
2
4x+1
,在(-∞,+∞)上,2x+1遞增且函數(shù)值大于0,
2
4x+1
在(-∞,+∞)上是減函數(shù),
f(x)=1-
2
4x+1
在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的、奇偶性的判斷與證明以及函數(shù)的定義域與值域的求法,求解此類題的關鍵是對函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于胸,熟知其各種判斷證明方法.
練習冊系列答案
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x
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3
3

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3
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+
2-2cos(
3
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3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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