Question

（本題滿分13分)二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為，且圖象在軸上截得線段長(zhǎng)為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）令

①若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求函數(shù)在的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）①，②.

【解析】

試題分析：（1）求二次函數(shù)的解析式可用待定系數(shù)法，關(guān)鍵是要建立關(guān)于系數(shù)的三個(gè)方程，這里依據(jù)條件不難得到，若運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，則顯得更方便；（2）二次函數(shù)的單調(diào)性以對(duì)稱軸為界，一邊增，一邊減，因此單調(diào)區(qū)間必須在對(duì)稱軸的一側(cè)；（3）二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的研究，一定要掌握好分類討論思想的運(yùn)用，即按對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)關(guān)系，分軸在區(qū)間的左、中、右三種情況進(jìn)行討論.

試題解析：（1）由條件設(shè)二次函數(shù)（），

設(shè)設(shè)的兩根為，且，因?yàn)閳D象在軸上截得線段長(zhǎng)為，由韋達(dá)定理得：

，解得，所以函數(shù)的解析式為：；

（2）①∵，∴，而函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，∴對(duì)稱軸在的左側(cè)，∴．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

②，，對(duì)稱軸，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，.

綜上所述：.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.