Question

19、為贏得2010年廣州亞運(yùn)會(huì)的商機(jī)，某商家最近進(jìn)行了新科技產(chǎn)品的市場(chǎng)分析，調(diào)查顯示，新產(chǎn)品每件成本9萬(wàn)元，售價(jià)為30萬(wàn)元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值0≤x≤30（單位：萬(wàn)元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2萬(wàn)元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件．
（1）將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成f（x）的函數(shù)；
（2）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)=（每件商品售價(jià)-降低價(jià)-成本價(jià)）×賣(mài)出數(shù)量，依此建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）知，f（x）是一元三次函數(shù)，求它在閉區(qū)間上的最值，要用求導(dǎo)法．

解答：解：（1）設(shè)商品降價(jià)x萬(wàn)元，則多賣(mài)的商品數(shù)為kx²，
若記商品在一個(gè)星期的獲利為f（x），
則依題意，有f（x）=（30-x-9）（432+kx²）=（21-x）（432+kx²），
又，由已知條件：24=k•2²，得 k=6，
所以，f（x）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，30]．
（2）根據(jù)（1），得 f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12）
作出以下表格：

x	[0，2）	2	（2，12）	12	（12，30]
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小	↗	極大	↘

所以，當(dāng)x=12時(shí)，f（x）達(dá)到極大值．因?yàn)閒（0）=9072，f（12）=11264，
即定價(jià)為 30-12=18萬(wàn)元時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由函數(shù)模型建立目標(biāo)函數(shù)，利用求導(dǎo)法求三次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，是中檔題．