Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：+++…+=n²（n≥1，n∈N⁺），
（1）求a₂₀₁₁
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n為數(shù)列{b_n}的前b項(xiàng)和，存在正整數(shù)b，使得S_n＞λ-，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件可知+++…+=2011²與+++…+=2010²，兩式相減可求出所求；
（2）先求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行求和，從而可求出所求．
解答：解：（1）+++…+=2011²
+++…+=2010²
兩式相減得=2011²-2010²=4021⇒a₂₀₁₁=
（2）+++…+=n²
+++…+=（n+1）²
兩式相減得=n²-（n-1）²=2n-1⇒（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足上式∴（n≥1）
b_n=a_na_n+1==（）
S_n=[（1-）+（-）+…+（）]=（1-）
存在正整數(shù)b，使得S_n＞λ-，即S_n的最大值大于λ-
而S_n=（1-）＜
∴＞λ-，即λ＜1
點(diǎn)評：本題主要考查了遞推關(guān)系，以及數(shù)列求和，同時(shí)考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用和計(jì)算能力，屬于中檔題．