Question

設無窮數列{a_n}的前n項和為S_n，且，p為常數，p＜-3．
（1）求證：{a_n}是等比數列，寫出{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}的公比q=f（p），無窮數列{b_n}滿足：b₁=a₁，，求證：是等差數列，并寫出{b_n}的通項公式；
（3）設，在（2）的條件下，有，求數列{c_n}的各項和．

Answer 1

解：（1）（3-p）S_n+2pa_n=3+p，p為常數，且p＜-3，n∈N*．
所以（3-p）S_n-1+2pa_n-1=3+p，（n≥2），兩式相減得：（3-p）a_n+2pa_n-2pa_n-1=0 （n≥2）
即：（3+p）a_n=2pa_n-1 （n≥2），所以 （n≥2）--------------------------2分
當n=1時，（3-p）a₁+2pa₁=3+p，a₁=1，故數列{a_n}是等比數列-----------------------2分
a_n=（）^n-1--------------------------------------------2分
（2）數列{a_n}的公比q=f（p），q=f（p）=，b₁=a₁，b_n=f（b_n-1），（n≥2），
所以b_n=?=，所以==+，=，b₁=a₁=1------------------3分
數列{}是等差數列，=1+（n-1）=，所以b_n=；----------------2分
（3）因為a_n-a_n+1=（）^n-1-（）ⁿ=（）^n-1[1-]=
由=
因為lga_n=lg（）^n-1=（n-1）lg，
b_nlga_n=lg（b_nlga_n）=[lg]=3lg
因為，所以，p=-9----------------3分
所以c_n=-（）^n-1，故{c_n}的各項和為S==-．----------------2分．
分析：（1）通過，通過推出，即可判斷數列是等比數列．
（2）利用數列{a_n}的公比q=f（p），以及，求出b_n，即可．
（3）設，在（2）的條件下，推出，求出p，然后求出數列{c_n}的各項和．
點評：本題考查數列的判斷，數列通項公式的求法，前n項和的求法，數列極限的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．