函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x-1，給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)在區(qū)間[
π
8
，
5π
8
]上是減函數(shù)；
②直線x=
π
8
是函數(shù)圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=
2
sin2x的圖象向左平移
π
4
個(gè)單位長度而得到；
④若x∈[0，
π
2
]，則f（x）的值域是[-1，
2
]．
其中所有正確命題的序號是
①②④
①②④
．
分析：化簡函數(shù)為同角同名函數(shù)，利用2cos2x-1=cos2x，sin2x+cos2x=）=
2
sin（2x+
π
4
）．再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸方程x=kπ+
π
2
，k∈z；遞減區(qū)間為[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈z，及函數(shù)圖象的變化規(guī)律解決．
解答：解：首先對函數(shù)進(jìn)行化簡，f（x）=2cos2x+sin2x-1=sin2x+cos2x=
2
（sin2xcos
π
4
+cos2xsin
π
4
）=
2
sin（2x+
π
4
）．
對①，令2x+
π
4
=kπ+
π
2
，得對稱軸方程x=
kπ
2
+
π
8
，k∈z，∴②正確；
對①，令2kπ+
π
2
＜2x+
π
4
＜2kπ+
3π
2
，得 kπ+
π
8
＜x＜kπ+
5π
8
，k∈z．函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]，k∈z，∴①√；
對③，平移的單位應(yīng)是
π
8
，∴③×．
對④，當(dāng)x∈[0，
π
8
]時(shí)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[
π
8
，
π
2
]時(shí)單調(diào)遞減，f（
π
8
）=
2
，f（
π
2
）=-1∴值域是[-1，
2
]，∴④√．
故答案是①②④
點(diǎn)評：牢記三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律，利用整體代入求解復(fù)合函數(shù)的對稱軸、單調(diào)區(qū)間、值域是本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在下列命題中：①已知兩條不同直線m、n兩上不同平面α，β，m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②函數(shù)y=sin（2x-
π
6
）圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)（
π
3
，0）；③若函數(shù)f（x）在R上滿足f（x+1）=
1
f(x)
，則f（x）是周期為2的函數(shù)；④在△ABC中，若
OA
+
OB
=2
CO
，則S△ABC=S△BOC其中正確命題的序號為
 
．

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