短半軸長為3的橢圓的一個焦點到長軸的一個端點的距離等于9,則橢圓的離心率為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式
C
分析:這道題目考查了橢圓中關(guān)于基本參量的定義與運算.由于離心率是橢圓的固有屬性,與研究橢圓時焦點選定在x軸或y軸上無關(guān),那么我們不妨以橢圓的焦點在x軸上為例來討論.設(shè)橢圓的長軸的左頂點為A,右定點為B,由于橢圓的兩個焦點具有對稱性,以哪一個為研究對象均可,不妨以橢圓的左焦點為例,并設(shè)其為F1.由已知可得焦點到長軸頂點的距離,由于出題人未告知是長軸的左定點還是右定點,我們要分類討論.若為左定點A,則依我們選取的左焦點為研究對象可得|AF1|=|OA|-|OF1|=9,而|OA|即為橢圓的長半軸長a,|OF1|即為橢圓的半焦距長c,則有a-c=9;又已知b=3,結(jié)合橢圓中參量的基本關(guān)系a2=b2+c2,即可解出各個參量,進(jìn)而依離心率的定義求解它的值即可.若題目所述的頂點為右定點,則同理可得|BF1|=|OB|+|OF1|=a+c,在依照上述步驟求解即可,并最后進(jìn)行檢驗.
解答:不妨設(shè)橢圓的焦點在x軸上,并以橢圓的左焦點為例.設(shè)橢圓的長軸的左頂點為A,右定點為B,左焦點為F1.
(1)若題目所述的長軸頂點為左定點A,則依題意有|AF1|=|OA|-|OF1|=9,而|OA|即為橢圓的長半軸長a,|OF1|即為橢圓的半焦距長c,則有a-c=9①;又已知b=3,且有a2=b2+c2②,將b=3代入②,有a2=32+c2,即(a+c)(a-c)=9,將①代入得a+c=1③,聯(lián)解①、③,可得a=5,c=-4,顯然不合題意,故舍去,即情況(1)不成立;
(2)若題目所述的長軸頂點為左定點B,則依題意有|NF1|=|OB|+|OF1|=9,而|OB|即為橢圓的長半軸長a,|OF1|即為橢圓的半焦距長c,則有a+c=9①;又已知b=3,且有a2=b2+c2②,同(1)中解法解得a=5,c=4,顯然合題意.
依離心率的定義有e==,故選擇C.
點評:在這道題目中大家一定要注意分類討論并檢驗,如果作為一道解答題,你沒有分情況討論,即使你的答案正確,也必然會因過程失分,同學(xué)們一定要培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

短半軸長為3的橢圓的一個焦點到長軸的一個端點的距離等于9,則橢圓的離心率為(  )
A、
12
13
B、
5
13
C、
4
5
D、
3
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分14分)

   已知橢圓C1 (a>b>0)的離心率為,直線+2=0與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切。

  (1)求橢圓C1的方程;

  (2)設(shè)橢圓C1的左焦點為F 1,右焦點F2,直線過點F1且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直直線于點P,線段PF2的垂直平分線交于點M,求點M的軌跡C2的方程;

  (3)若A(x1,2)、B(x2 ,Y2)、C(x0,y0)是C2上不同的點,且AB⊥ BC,求Yo的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)領(lǐng)航試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

短半軸長為3的橢圓的一個焦點到長軸的一個端點的距離等于9,則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年遼寧省丹東市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

短半軸長為3的橢圓的一個焦點到長軸的一個端點的距離等于9,則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.

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