Question

【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

	0
	0	1	0		0
	0		0		0

(1)請寫出上表的及函數(shù)的解析式；

(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求的解析式及的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，若在上恰有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)與零點(diǎn)個(gè)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）.

【解析】

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得關(guān)于的方程組，解出的值后可得的值，再由表中數(shù)據(jù)可得，從而可得函數(shù)的解析式.

（2）先求出的解析式，再求出的定義域，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性可得復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

（3）令，設(shè)方程的根為，分①；②；③三種情況討論在及上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)周期性得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合題設(shè)條件可得的值及相應(yīng)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得 ，解得，

故，所以，又，故.

所以.

（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得圖像的解析式為：

，

再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，

故.

此時(shí)，

令，則，故.

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

故為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；

故為增函數(shù).

所以的增區(qū)間為.

(3)，的周期為，

當(dāng)時(shí)，令，考慮方程的根情況，

因，故在必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

因?yàn)?/span>在有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故或.

若，則方程、在共有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

在有0個(gè)實(shí)數(shù)根或2個(gè)實(shí)數(shù)根，

故在有個(gè)根或個(gè)根，

與有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)矛盾，舍去.

若，則在共有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在有0個(gè)實(shí)數(shù)根或2個(gè)實(shí)數(shù)根，

故在有

個(gè)根或，

與有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)矛盾，舍去.

同理也不成立，所以或，

若，則，，

方程、在共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，而在上，有兩個(gè)不同的根，無解，

所以在有個(gè)根，符合要求；

若，則，，

方程、在共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，而在上，無解，有一個(gè)根，

所以故在有個(gè)根，與題設(shè)矛盾，舍去.

綜上，，在共有個(gè)不同的零點(diǎn).