Question

（2013•重慶）某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．
（Ⅰ）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．

Answer 1

分析：（I）由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本，結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式，根據(jù)該蓄水池的總建造成本為12000π元，構(gòu)造方程整理后，可將V表示成r的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際中半徑與高為正數(shù)，得到函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中函數(shù)的定義值及解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值點(diǎn)．

解答：解：（I）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為200•πrh元，
底面積成本為160πr²元，
∴蓄水池的總建造成本為200•πrh+160πr²元
即200•πrh+160πr²=1200π
∴h=

1

5r

（300-4r²）
∴V（r）=πr²h=πr²•

1

5r

（300-4r²）=

π

5

（300r-4r³）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5

3

故函數(shù)V（r）的定義域?yàn)椋?，5

3

）
（II）由（I）中V（r）=

π

5

（300r-4r³），（0＜r＜5

3

）
可得V′（r）=

π

5

（300-12r²），（0＜r＜5

3

）
∵令V′（r）=

π

5

（300-12r²）=0，則r=5
∴當(dāng)r∈（0，5）時(shí)，V′（r）＞0，函數(shù)V（r）為增函數(shù)
當(dāng)r∈（5，5

3

）時(shí)，V′（r）＜0，函數(shù)V（r）為減函數(shù)
且當(dāng)r=5，h=8時(shí)該蓄水池的體積最大

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是根據(jù)已知，求出函數(shù)的解析式及定義域，（II）的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)的單調(diào)性及最值點(diǎn)．