設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;
(Ⅱ)對任意的實數(shù),證明 :(是的導(dǎo)函數(shù));
(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】本試題主要考查了二項式定理的運用,以及二項式系數(shù)的最大項的問題,和運用函數(shù)的思想解決不等式的恒成立問題的綜合運用。
(1)中,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知,二項式系數(shù)的最大項取決于冪指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來得到
(2)中利用均值不等式的思想,表示出
和放縮法的思想得到
(Ⅰ)解:展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項,這項是
(Ⅱ)證法一:因
證法二:
因
而
故只需對和進(jìn)行比較。
令,有 由,得
因為當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以在處有極小值故當(dāng)時,,
從而有,亦即故有恒成立。
所以,原不等式成立。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(海南) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若當(dāng)時取得極值,求a的值,并討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若存在極值,求a的取值范圍,并證明所有極值之和大于.
請考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年北京高考模擬系列試卷理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(I)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)令<≤,其圖像上任意一點P處切線的斜率≤恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(III)當(dāng)時,方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年寧夏高三第五次月考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求的最大值;
(2)令,(0≤3),其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),,方程有唯一實數(shù)解,求正數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年遼寧省東北育才學(xué)校高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若函數(shù)的定義域為,試求實數(shù)的取值范圍.
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