Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y²＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.

(1)求k的取值范圍；

(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ∪   (2)不存在，理由見解析

【解析】解：(1)由已知條件知直線l的方程為

y＝kx＋，

代入橢圓方程得＋(kx＋)²＝1.

整理得x²＋2kx＋1＝0.①

直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k²－4＝4k²－2>0，

解得k<－或k>，

即k的取值范圍為∪.

(2)設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，

由方程①得x₁＋x₂＝－.②

又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2＝，③

而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，

所以＋與共線等價(jià)于x₁＋x₂＝－ (y₁＋y₂)．

將②③代入上式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k.