Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-）-lnx，
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)，
f（1）=1-1-ln1=0，
f′（x）=，
曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=1+1-1=1，
從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=x-1，即y=x-1；
（Ⅱ）f′（x）=，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
即ax²-x+a≥0，得恒成立，
由于，
∴，∴，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是；
（Ⅲ）∵在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（x）_min=1；x=1時(shí)，g（x）_max=e，即 g（x）∈[1，e]，
f′（x）=，令h（x）=ax²-x+a，
當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜1，
又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
故只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]，
而，g（x）_min=1，
即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是。